Giải bài 19 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao
Chia sẻ trang này
Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
- Bài học cùng chủ đề:
- Bài 20 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao
- Bài 21 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao
- Ngữ pháp tiếng anh hay nhất
Bài 19. Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.
b) Một hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy bằng \(r\). Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.
c) Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính \(R\). Nếu hình nón đó có chiều cao bằng \(h\) thì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.
Giải
a)
Hình nón \((N)\) có đỉnh \(S\) và đường tròn đáy là \((O;r)\). Lấy điểm \(M\) trên \((O;r)\) thì \(\Delta SOM\) vuông tại \(O\).
\(SO\) là trục của đường tròn \((O;r)\) nên \(I\) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình nón khi và chỉ khi \(I\) thuộc \(SO\) và cách đều hai điểm \(S, M\). Vậy \(I\) là giao điểm của \(SO\) với mặt phẳng trung trực của \(SM\). Mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(R = IS\) là mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.
b)
Kẻ đường kính \(SS’\) của mặt cầu ngoại tiếp hình nón \((SS’ > h)\)
\(\Delta MSS'\) vuông tại \(M\) có đường cao \(MO = r\).
Ta có:
\(\eqalign{
& M{O^2} = OS.OS' \Rightarrow {r^2} = h\left( {SS' - h} \right) \cr
& \Rightarrow SS' = {{{r^2}} \over h} + h = {{{r^2} + {h^2}} \over h} \cr} \)
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là \(R = {1 \over 2}SS' = {{{r^2} + {h^2}} \over {2h}}\)
c) Nếu hình nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy là \(r\) nội tiếp mặt cầu bán kính \(R\) thì theo câu b) ta có hệ thức \({r^2} = h\left( {2R - h} \right)\).
Vậy \(r = \sqrt {h\left( {2R - h} \right)} \)
Độ dài đường sinh \(l = SM = \sqrt {SO.SS'} = \sqrt {2R.h} \)
Diện tích xung quanh của hình nón là \({S_{xq}} = \pi rl = \pi \sqrt {h\left( {2R - h} \right)} .\sqrt {2Rh} = \pi h\sqrt {2R\left( {2R - h} \right)} \)
Chia sẻ trang này
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
- Chương i. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
- Chương ii. hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
- Chương iii. nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
- Chương iv. số phức
- Ôn tập cuối năm đại số và giải tích
- Chương i. khối đa diện và thể tích của chúng
- Chương ii. mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
- Chương iii. phương pháp tọa độ trong không gian
- Ôn tập cuối năm hình học
