Giải bài 6 trang 63 Hình học 12 Nâng cao

Chia sẻ trang này

Một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy AB = 2a, BD = 4a, cạnh bên AD = BC = 3a. Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.

Ngữ pháp tiếng anh hay nhất

Bài 6. Một hình thang cân \(ABCD\) có các cạnh đáy \(AB = 2a, BD = 4a\), cạnh bên \(AD = BC = 3a\). Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.

Giải

Gọi \(S\) là giao điểm của hai cạnh bên \(AD\) và \(BC\) của hình thang. Đường cao \(SO\) của tam giác cân \(SCD\) là trục đối xứng của hình thang, do đó \(SO\) cắt \(AB\) tại trung điểm \(O’\) của \(AB\).

Khi quay quanh \(SO\), tam giác \(SCD\) sinh ra khối nón \(\left( {{N_1}} \right)\) có thể tích \({V_1}\), tam giác \(SAB\) sinh ra khối nón \(\left( {{N_2}} \right)\) có thể tích \({V_2}\), còn hình thang \(ABCD\) sinh ra một khối tròn xoay \(\left( H \right)\) có thể tích \(V = {V_1} - {V_2}\).

Vì \(AB = {1 \over 2}CD\) nên \(AB\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\) nên \(SB = BC = 3a\).

Ta có \(SO' = \sqrt {S{B^2} - O'{B^2}} = \sqrt {9{a^2} - {a^2}} = 2\sqrt 2 a\)

\(\eqalign{
& SO = 2SO' = 4\sqrt 2 a \cr
& V = {V_1} - {V_2} = {1 \over 3}\pi O{C^2}.SO - {1 \over 3}\pi O'{B^2}.SO' = {1 \over 3}\pi 4{a^2}.SO - {1 \over 3}\pi {a^2}SO' \cr
& = {1 \over 3}\pi {a^2}\left( {4SO - SO'} \right) = {1 \over 3}\pi {a^2}\left( {16\sqrt 2 a - 2\sqrt 2 a} \right) = {{14\sqrt 2 } \over 3}\pi {a^3} \cr} \)

Diện tích xung quanh của khối tròn xoay \((H)\) là:

\(\eqalign{
& {S_{xq}} = {S_1} - {S_2} = \pi OC.SC - \pi O'B.SB = 9\pi {a^2} \cr
& {S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = 9\pi {a^2} + \pi {a^2} + 4\pi {a^2} = 14\pi {a^2} \cr} \)

Trên đây là bài học "Giải bài 6 trang 63 Hình học 12 Nâng cao" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 1 lớp 12" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 12 của dayhoctot.com.