Giải câu 36 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Giải các phương trình sau:

Bài 36. Giải các phương trình sau :

a.  \(\tan {x \over 2} = \tan x\)

b.  \(\tan \left( {2x + 10^\circ } \right) + \cot x = 0\)

c.  \(\left( {1 - \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = 1 + \tan x\)

d.  \(\tan x + \tan 2x = \sin 3x\cos x\)

e.  \(\tan x + \cot 2x = 2\cot 4x\)

Giải

a. ĐKXĐ:  \(\left\{ {\matrix{{\cos {x \over 2} \ne 0} \cr {\cos x \ne 0} \cr} } \right.\)

Ta có:\(\tan {x \over 2} = \tan x \Leftrightarrow x = {x \over 2} + k\pi \Leftrightarrow x = k2\pi \,\) (nhận)

b. ĐKXĐ:  \(\left\{ {\matrix{{\cos \left( {2x + 10^\circ } \right) \ne 0} \cr {\sin x \ne 0} \cr} } \right.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \tan \left( {2x + 10^\circ } \right) + \cot x = 0 \Leftrightarrow \tan \left( {2x + 10^\circ } \right) = \tan \left( {90^\circ + x} \right) \cr
& \Leftrightarrow 2x + 10^\circ = 90^\circ + x + k180^\circ \Leftrightarrow x = 80^\circ + k180^\circ \cr} \) 

Hiển nhiên \(x = 80^0 + k180^0\) thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = 80^0 + k180^0\)

c. Đặt \(t = \tan x\), với điều kiện \(\cos x ≠ 0\).

Ta có:  \(\sin 2x = {{2\tan x} \over {1 + {{\tan }^2}x}} = {{2t} \over {1 + {t^2}}}\)

Do đó :  \(1 + \sin 2x = 1 + {{2t} \over {1 + {t^2}}} = {{{{\left( {1 + t} \right)}^2}} \over {1 + {t^2}}}\)

Vậy ta có phương trình:

\(\eqalign{& \left( {1 - t} \right){{{{\left( {1 + t} \right)}^2}} \over {1 + {t^2}}} = 1 + t \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - t} \right){\left( {1 + t} \right)^2} = \left( {1 + t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)\Leftrightarrow 2{t^2}\left( {1 + t} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 0} \cr {t = - 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = 0} \cr {\tan x = - 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = k\pi } \cr {x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr} } \right. \cr} \) 

d. ĐKXĐ :\(\cos x \ne 0\,\text{ và }\,\cos 2x \ne 0.\) Với điều kiện đó, ta có :

\(\eqalign{& \tan x + \tan 2x = \sin 3x\cos x \cr & \Leftrightarrow {{\sin 3x} \over {\cos x\cos 2x}} = \sin 3x\cos x \cr & \Leftrightarrow \sin 3x\left( {{1 \over {\cos x\cos 2x}} - \cos x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\sin 3x = 0} \cr {{1 \over {\cos x\cos 2x}} = \cos x} \cr} } \right. \cr & .\sin 3x = 0 \Leftrightarrow x = k{\pi \over 3} \cr & .{1 \over {\cos x\cos 2x}} = \cos x \Leftrightarrow {\cos ^2}x\cos 2x = 1 \Leftrightarrow \left( {1 + \cos 2x} \right)\cos 2x = 2 \cr & \Leftrightarrow {\cos ^2}2x + \cos 2x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \cos 2x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi \cr} \) 

Vậy phương trình có nghiệm  \(x = k{\pi \over 3}\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)

e. ĐKXĐ :\(\cos x \ne 0,\sin 2x \ne 0\,va\,\sin 4x \ne 0.\) Tuy nhiên chỉ cần \(\sin 4x ≠ 0\) là đủ (vì \(\sin 4x = 2\sin2x\cos2x = 4\sin x\cos x\cos2x\)). Với điều kiện đó ta có :

\(\eqalign{& \tan x + \cot 2x = 2\cot 4x \cr & \Leftrightarrow {{\sin x} \over {\cos x}} + {{\cos 2x} \over {\sin 2x}} = {{2\cos 4x} \over {\sin 4x}} \cr & \Leftrightarrow {{\sin x\sin 2x + \cos x\cos 2x} \over {\cos x\sin 2x}} = {{2\cos 4x} \over {2\sin 2x\cos 2x}} \cr & \Leftrightarrow {{\cos \left( {2x - x} \right)} \over {\cos x}} = {{\cos 4x} \over {\cos 2x}} \cr & \Leftrightarrow \cos 4x = \cos 2x \cr & \Leftrightarrow 4x = \pm 2x + k2\pi \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = k\pi } \cr {x = k{\pi \over 3}} \cr} } \right. \Leftrightarrow x = k{\pi \over 3} \cr} \) 

Để là nghiệm, các giá trị này còn phải thỏa mãn điều kiện \(\sin4x ≠ 0\).

Ta có:

- Nếu \(k\) chia hết cho 3, tức là \(k = 3m\) (\(m\in\mathbb Z\)) thì :

- Nếu \(k\) không chia hết cho 3, tức là \(k = 3m ± 1\) (\(m\in\mathbb Z\))  thì :

\(\sin 4x = \sin \left( { \pm {{4\pi } \over 3} + 4m\pi } \right) = \pm \sin {\pi \over 3} = \pm {{\sqrt 3 } \over 2} \ne 0\) 

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = k{\pi \over 3}\) với \(k\) nguyên và không chia hết cho 3.

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật