Giải câu 32 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

Bài 32. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :

a. \(a\sin x + b\cos x\) (a và b là hằng số, \(a^2+ b^2≠ 0\)) ;

b.  \({\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x;\)

c.\(A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\) (A, B và C là hằng số).

Giải:

a. Ta có:

\(\eqalign{
& a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\sin x\cos \alpha + \sin \alpha \cos x} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \cr
& \left( {\text{ trong đó}\,\sin \alpha = {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }};\,\cos \alpha = {a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right) \cr} \) 

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(a\sin x + b\cos x\) lần lượt  là :

\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\text{ và }\, - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) 

b. Ta có :

\(\eqalign{
& {\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x = {1 \over 2}\sin 2x + {{1 - \cos 2x} \over 2} + 3.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \cr
& \text{ Ta có }\,\left| {{1 \over 2}\sin 2x + \cos 2x} \right| \le \sqrt {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2} + {1^2}} = {{\sqrt 5 } \over 2} \cr} \) 

Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \({\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x\) lần lượt là :  

\({{\sqrt 5 } \over 2} + 2\,\text{ và }\, - {{\sqrt 5 } \over 2} + 2\)

c. Ta có:

\(\eqalign{
& A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x \cr
& = A.{{1 - \cos 2x} \over 2} + {B \over 2}.\sin 2x + C.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr
& = {B \over 2}.\sin 2x + {{C - A} \over 2}\cos 2x + {{C + A} \over 2} = a\sin 2x + b\cos 2x + c \cr
& \text{ trong đó}\,\,a = {B \over 2},\,b = {{C - A} \over 2},\,c = {{C + A} \over 2} \cr} \) 

Vậy \(A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\) đạt giá trị lớn nhất là :

\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c = \sqrt {{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2} = {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + \left( {C - A} \right)} + {{C + A} \over 2}\) và giá trị nhỏ nhất là  \( - {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} + {{C + A} \over 2}.\)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật