Giải bài 39 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Giải các phương trình sau trên C:

Bài 39. Giải các phương trình sau trên C:

\(\eqalign{  & a)\,{\left( {z + 3 - i} \right)^2} - 6\left( {z + 3 - i} \right) + 13 = 0;  \cr  & b)\,\left( {{{iz + 3} \over {z - 2i}}} \right)^2 - 3{{iz + 3} \over {z - 2i}} - 4 = 0; \cr} \)

\(c)\,\,{\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 0.\)

Giải

a) Đặt \({\rm{w}} = z + 3 - i\) ta được phương trình:

                        \(\eqalign{  & {{\rm{w}}^2} - 6{\rm{w}}+ 13 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{\rm{w}} - 3} \right)^2} =  - 4 = 4{i^2}  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {\rm{w}} = 3 + 2i \hfill \cr  {\rm{w}} = 3 - 2i \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  z + 3 - i = 3 + 2i \hfill \cr  z + 3 - i = 3 - 2i \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  z = 3i \hfill \cr  z =  - i \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ { - i;3i} \right\}\)

b) Đặt \({\rm{w}} = {{iz + 3} \over {z - 2i}}\) ta được phương trình: \({{\rm{w}}^2} - 3{\rm{w}} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {\rm{w}} =  - 1 \hfill \cr {\rm{w}} = 4 \hfill \cr}  \right.\)

Với \({\rm{w}} = -1\) ta có \({{iz + 3} \over {z - 2i}} =  - 1 \Leftrightarrow iz + 3 =  - z + 2i\)

\( \Leftrightarrow \left( {i + 1} \right)z =  - 3 + 2i \Leftrightarrow z = {{ - 3 + 2i} \over {1 + i}} = {{\left( { - 3 + 2i} \right)\left( {1 - i} \right)} \over 2} = {{ - 1 + 5i} \over 2}\)

Với \({\rm{w}} = 4\) ta có \({{iz + 3} \over {z - 2i}} = 4 \Leftrightarrow \left( {4 - i} \right)z = 3 + 8i\)

                                    \( \Leftrightarrow z = {{3 + 8i} \over {4 - i}} = {{\left( {3 + 8i} \right)\left( {4 + i} \right)} \over {17}} = {{4 + 35i} \over {17}}\)

Vậy \(S = \left\{ {{{ - 1 + 5i} \over 2};{{4 + 35} \over {17}}} \right\}\)

\(c)\,{\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {\left( {{z^2} + 1} \right)^2} - {\left[ {i\left( {z + 3} \right)} \right]^2}\)

\( = \left( {{z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right)} \right)\left( {{z^2} + 1 - i\left( {z + 3} \right)} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow\left[ \matrix{  {z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr  {z^2} + 1 - i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr}  \right.\)

Phương trình (1) là phương trình bậc hai \({z^2} + iz + 1 + 3i = 0\);

\(\Delta  =  - 5 - 12i = {\left( {2 - 3i} \right)^2}\) 

Phương trình có hai nghiệm là \({z_1} = 1 - 2i\) và \({z_2} =  - 1 + i\).

Phương trình (2) là phương trình bậc hai \({z^2} - iz + 1 - 3i = 0\);

\(\Delta  =  - 5 + 12i = {\left( {2 + 3i} \right)^2}\) 

Phương trình có hai nghiệm là \({z_3} = 1 + 2i\) và \({z_4} =  - 1 - i\)

Vậy \(S = \left\{ {1 - 2i; - 1 + i;1 + 2i; - 1 - i} \right\}\)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 12

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 12 mới cập nhật