Giải bài 25 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chia sẻ trang này

Tính các tích phân sau:

Ngữ pháp tiếng anh hay nhất

Bài 25. Tính các tích phân sau :

a) \(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {x\cos 2xdx;} \) b) \(\int\limits_0^1 {{{\ln \left( {2 - x} \right)} \over {2 - x}}} dx;\)

c) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{x^2}\cos xdx;} \)

\(d)\,\int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} dx;} \) \(e)\,\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx.} \)

Giải

a) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {x\cos 2xdx = \left. {{1 \over 2}x\sin 2x} \right|_0^{{\pi \over 4}}} - {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {\sin 2xdx} \)

\( = {\pi \over 8} + \left. {{1 \over 4}\cos 2x} \right|_0^{{\pi \over 4}} = {\pi \over 8} + {1 \over 4}\left( { - 1} \right) = {\pi \over 8} - {1 \over 4}.\)

b) Đặt \(u = \ln \left( {2 - x} \right) \Rightarrow du = {{ - 1} \over {2 - x}}dx\)

\(\int\limits_0^1 {{{\ln \left( {2 - x} \right)} \over {2 - x}}} dx = - \int\limits_{\ln 2}^0 {udu} = \int\limits_0^{\ln 2} {udu} = \left. {{{{u^2}} \over 2}} \right|_0^{\ln 2} = {1 \over 2}{\left( {\ln 2} \right)^2}\)

c) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{x^2}\cos xdx = {x^2}} \left. {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|_0^{{\pi \over 2}} - 2\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\sin xdx = {{{\pi ^2}} \over 4}} - 2{I_1}\)

Với \({I_1} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\sin xdx} \)

Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = - \cos x \hfill \cr} \right.\)

Do đó \({I_1} = - x\left. {\cos x} \right|_0^{{\pi \over 2}} + \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\cos xdx = \left. {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|_0^{{\pi \over 2}}} = 1\)

Vậy \(I = {{{\pi ^2}} \over 4} - 2\)

d) Đặt \(u = \sqrt {{x^3} + 1} \Rightarrow {u^2} = {x^3} + 1 \Rightarrow 2udu = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = {2 \over 3}udu\)

\(\int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} dx} = {2 \over 3}\int\limits_1^{\sqrt 2 } {{u^2}du = \left. {{{2{u^3}} \over 9}} \right|} _1^{\sqrt 2 } = {2 \over 9}\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)\)

e) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = {x^2}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {{dx} \over x} \hfill \cr
v = {{{x^3}} \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx = \left. {{{{x^3}} \over 3}\ln x} \right|} _1^e - {1 \over 3}\int\limits_1^e {{x^2}dx = {{{e^3}} \over 3} - \left. {{1 \over 9}{x^3}} \right|} _1^e = {{2{e^3} + 1} \over 9}\)

Trên đây là bài học "Giải bài 25 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 1 lớp 12" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 12 của dayhoctot.com.