Giải bài 19 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Chia sẻ trang này
Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.
- Bài học cùng chủ đề:
- Bài 20 trang 22, SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
- Bài 21 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
- Bài 22 trang 23 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
- Ngữ pháp tiếng anh hay nhất
Bài 19. Cho một tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\). Người ta dựng một hình chữ nhật \(MNPQ\) có cạnh \(MN\) nằm trên cạnh \(BC\), hai đỉnh \(P\) và \(Q\) theo thứ tự nằm trên hai cạnh \(AC\) và \(AB\) của tam giác. Xác định vị trí của điểm \(M\) sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.
Giải
Đặt \(BM = x\left( {0 < x < {a \over 2}} \right)\)
Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\) ta có \(AH = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
\(\Delta BMQ = \Delta CNP\,\,\, \Rightarrow BM = NC = x\,\,\, \Rightarrow MN = a - 2x\)
\(QM//AH\) nên \({{QM} \over {AH}} = {{BM} \over {BH}} \Rightarrow QM = {{AH.BM} \over {BH}} = {{{{a\sqrt 3 } \over 2}.x} \over {{a \over 2}}} = x\sqrt 3 \)
Diện tích hình chữ nhật \(MNPQ\) là
\(S\left( x \right) = MN.QM = \left( {a - 2x} \right).x\sqrt 3 = \sqrt 3 \left( {ax - 2{x^2}} \right)\)
Ta tìm giá trị lớn nhất của \(S\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0;{a \over 2}} \right)\)
Ta có : \(S'\left( x \right) = \sqrt 3 \left( {a - 4x} \right);S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = {a \over 4};S\left( {{a \over 4}} \right) = {{\sqrt 3 } \over 8}{a^2}\)
Vậy \(S\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại điểm \(x = {a \over 4}\) và giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật là: \(\mathop {\max \,\,\,S\left( x \right)}\limits_{x \in \left( {0;{a \over 2}} \right)} = S\left( {{a \over 4}} \right) = {{\sqrt 3 } \over 8}{a^2}\)
Chia sẻ trang này
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
- Chương i. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
- Chương ii. hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
- Chương iii. nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
- Chương iv. số phức
- Ôn tập cuối năm đại số và giải tích
- Chương i. khối đa diện và thể tích của chúng
- Chương ii. mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
- Chương iii. phương pháp tọa độ trong không gian
- Ôn tập cuối năm hình học
