Giải câu 16 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Cho dãy số (un) xác định bởi

Bài 16. Cho dãy số (un) xác định bởi

\({u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right){.2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\)

a. Chứng minh rằng (un) là một dãy số tăng.

b. Chứng minh rằng

\({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\).

Giải

a. Từ hệ thức xác định dãy số (un), ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1} \right){.2^n} > 0\;\forall n \ge 1.\)

Do đó (un) là một dãy số tăng.

b. Ta sẽ chứng minh \({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}\)  (1) với mọi \(n ≥ 1\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \({u_1} = 1 = 1 + \left( {1 - 1} \right){.2^1}.\) Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in\mathbb N^*\), tức là:

\({u_k} = 1 + \left( {k - 1} \right){2^k}\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\).

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) và giả thiết qui nạp, ta có :

\({u_{k + 1}} = {u_k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} = 1 + \left( {k - 1} \right){.2^k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} = 1 + k{.2^{k + 1}}\)

Vậy (1) đúng với mọi \(n ≥ 1\).

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật