Giải câu 26 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Hãy chứng minh định lí 3.

Bài 26. Hãy chứng minh định lí 3.

Giải:

Ta sẽ chứng minh \({S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}\) (1)

+) Với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \({S_1} = {u_1} = {{1\left( {{u_1} + {u_1}} \right)} \over 2}.\) Như vậy (1) đúng với \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k  \in \mathbb N^*\), tức là:

\({S_k} = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)

\(\eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + {u_{k + 1}} \cr
& = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2} + {u_{k + 1}} \cr
& = {{k\left( {{u_1} + {u_{k + 1}} - d} \right) + 2{u_{k + 1}}} \over 2} \cr
& = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_{k + 1}} - kd} \over 2} \cr
& = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_1}} \over 2} \cr
& = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{u_1} + {u_{k + 1}}} \right)} \over 2} \cr} \)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\)

Vậy (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

Cách khác :

Ta có:

\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}} + {u_n}} \cr {{S_n} = {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_2} + {u_1}} \cr} } \right. \cr & \Rightarrow 2{S_n} = \left( {{u_1} + {u_n}} \right) + \left( {{u_2} + {u_{n - 1}}} \right) + ... + \left( {{u_{n - 1}} + {u_2}} \right) + \left( {{u_n} + {u_1}}\right) \cr} \)

Mà  \({u_2} + {u_{n - 1}} = {u_3} + {u_{n - 2}} = ... = {u_n} + {u_1}\)

Do đó  \(2{S_n} = n\left( {{u_1} + {u_n}} \right) \Rightarrow {S_n} = {n \over 2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật