Giải bài 8 trang 26 SGK Hình học 12
Chia sẻ trang này
Giải bài 8 trang 26 SGK Hình học 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật
- Bài học cùng chủ đề:
- Bài 9 trang 26 SGK Hình học 12
- Bài 10 trang 27 SGK Hình học 12
- Bài 11 trang 27 SGK Hình học 12
- Ngữ pháp tiếng anh hay nhất
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA\) vuông góc với đáy và \(AB = a, AD = b, SA =c\). Lấy các điểm \(B', D'\) theo thứ tự thuộc \(SB, SD\) sao cho \(AB'\) vuông góc với \(SB, AD'\) vuông góc với \(SD\). Mặt phẳng \((AB'D')\) cắt \(SC\) tại \(C'\). Tính thể tích khối chóp \(S.AB'C'D'\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh \(SC \bot (AB'C'D')\)
\(\Rightarrow V_{S.AB'C'D'} = {{1} \over {3}} SC'.S_{AB'C'D'}\)
Lời giải chi tiết
Ta có \(BC \bot (SAB)\Rightarrow BC\bot AB'\)
Theo giả thiết \(SB \bot AB'\)
\(AB' \bot (SBC) \Rightarrow AB' \bot SC\) (1)
Chứng minh tương tự ta có:
\(AD' \bot SC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(SC \bot (AB'C'D')\) hay \(SC\) là đường cao của hình chóp \(S.AB'C'D'\).
Từ \(AB' \bot (SBC)\) \( \Rightarrow AB' \bot B'C'\)
Tương tự ta có: \(AD' \bot D'C'\)
\( \Rightarrow {S_{AB'C'D'}} = {S_{AB'C'}} + {S_{AD'C'}} \)
\(= \frac{1}{2}AB'B'C' + \frac{1}{2}AD'.D'C' = \frac{1}{2}\left( {AB'B'C' + AD'.D'C'} \right)\)
Từ các kết quả trên, ta được:
\({V_{AB'C'D'}} = {1 \over 3}.SC'.{1 \over 2}(AB'.B'C' + AD'.D'C')\)
= \({1 \over 6}SC'.(AB'.B'C' + AD'.D'C')\) (*)
Ta tính các yếu tố trên.
Tam giác vuông \(SAB\) có \(AB'\) là đường cao, nên ta có:
\({1 \over {AB{'^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \Rightarrow AB{'^2} = {{{a^2}{c^2}} \over {{a^2} + {c^2}}}\) \( \Rightarrow AB' = {{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)
Tương tự, ta có:
\(AD{'^2} = {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}} \Rightarrow AD' = {{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\)
Ta lại có: \(SC^2 = AC^2 + AS^2 = a^2 + b^2 + c^2 \Rightarrow SC = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Trong tam giác vuông \(SAC, AC'\) là đường cao thuộc cạnh huyền
\(SC'.SC = SA^2\) \( \Rightarrow SC' = {{S{A^2}} \over {SC}} = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
\(∆SBC\) đồng dạng \(∆SC'B'\) (g.g)\( \Rightarrow {{B'C'} \over {BC}} = {{SC'} \over {SB}}\)
\( \Rightarrow B'C' = {{SC'.BC} \over {SB}} = {{b{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Tương tự ta có: \(D'C' = {{{c^2}a} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Thay các kết quả này vào (*) ta được:
\(V = {1 \over 6}.{{ab{c^5}({a^2} + {b^2} + 2{c^2})} \over {({a^2} + {c^2})({b^2} + {c^2})({a^2} + {b^2} + {c^2})}}\)
Chia sẻ trang này
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
