Giải bài 1 trang 112 SGK Giải tích 12

Chia sẻ trang này

Bài trước

Bài sau

Giải bài 1 trang 112 SGK Giải tích 12. Tính các tích phân sau:

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a)\(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\) b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx\)

c)\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{x(x+1)}dx\) d) \(\int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx\)

e)\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx\) g) \(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5xdx\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng \(\int\limits_{}^{} {{{\left( {ax + b} \right)}^n}dx} = \frac{1}{a}\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\)

b) Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng: \(\int\limits_{}^{} {\sin \left( {ax + b} \right)dx} = - \frac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C\).

c) Sử dụng phân tích: \(\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\) sau đó sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: \(\int\limits_{}^{} {\frac{1}{{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}.\ln \left| {ax + b} \right| + C\).

d) Nhân đa thức và áp dụng công thức nguyên hàm: \(\int\limits_{}^{} {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

e) Phân tích đa thức trong tích phân dưới dạng : \(\frac{{1 - 3x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) và sử dụng các công thức nguyên hàm: \(\int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{{ax + b}}} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C;\,\,\int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}} = \frac{1}{a}\frac{{ - 1}}{{ax + b}} + C\)

g) Cách 1:

Chứng minh hàm số \(f\left( x \right) = \sin 3x\cos 5x\) là hàm số lẻ và áp dụng công thức \(\int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx} = 0\) (Với f(x) là hàm số lẻ, \(a \in R\).

Cách 2:

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a) \,\,\,\int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\sqrt[3]{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\,\frac{1}{2}} {{{\left( {1 - x} \right)}^{\frac{2}{3}}}dx} \\= \left. { - 1.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}}} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = - \frac{3}{5}.\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{5}{3}}} - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{\frac{5}{3}}}} \right]\\= - \frac{3}{5}\left[ {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{2^5}}}}} - \frac{{\sqrt[3]{{{3^5}}}}}{{\sqrt[3]{{{2^5}}}}}} \right] = - \frac{3}{5}\left[ {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{2^3}{{.2}^2}}}}} - \frac{{\sqrt[3]{{{3^3}{{.3}^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{2^3}{{.2}^2}}}}}} \right]\\= - \frac{3}{5}\left[ {\frac{1}{{2\sqrt[3]{4}}} - \frac{{3\sqrt[3]{9}}}{{2\sqrt[3]{4}}}} \right] = \frac{3}{{10\sqrt[3]{4}}}\left( {3\sqrt[3]{9} - 1} \right)\end{array}\)

\(b)\,\,\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)dx} = \left. {\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) - \cos \frac{\pi }{4} = 0\)

c) Ta có: \(\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\= \left. {\left( {\ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2 = \left. {\ln \left| {\frac{x}{{x + 1}}} \right|} \right|_{\frac{1}{2}}^2\\= \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{3} = \ln \left( {\frac{2}{3}:\frac{1}{3}} \right) = \ln 2\end{array}\).

\(\begin{array}{l}d)\,\,x{\left( {x + 1} \right)^2} = x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = {x^3} + 2{x^2} + x\\\Rightarrow \int\limits_0^2 {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}dx} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} + 2{x^2} + x} \right)dx} \\= \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + 2\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{34}}{3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}e)\,\,\frac{{1 - 3x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3\left( {x + 1} \right) + 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = - \frac{3}{{x + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{1 - 3x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left( { - \frac{3}{{x + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)dx} \\= - 3\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{{x + 1}}} + 4\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \\= - \left. {3\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_{\frac{1}{2}}^2 - \left. {\frac{4}{{x + 1}}} \right|_{\frac{1}{2}}^2\\= - 3\left( {\ln 3 - \ln \frac{3}{2}} \right) - 4\left( {\frac{1}{3} - \frac{2}{3}} \right)\\= - 3\ln 2 + \frac{4}{3}\end{array}\)

g) Cách 1:

Đặt \(f(x) = sin3xcos5x\) ta có: \(f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - 3x} \right)\cos \left( { - 5x} \right) = - \sin 3x\cos 5x = - f\left( x \right) \Rightarrow \) là hàm số lẻ, từ đó ta có: \(\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 3x\cos 5xdx} = 0\).

Cách 2:

\(\begin{array}{l}\sin 3x\cos 5x = \frac{1}{2}\left( {\sin 8x - \sin 2x} \right)\\\Rightarrow \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 3x\cos 5xdx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin 8x - \sin 2x} \right)dx} \\= \frac{1}{2}\left. {\left( { - \frac{{\cos 8x}}{8} + \frac{{\cos 2x}}{2}} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\\= \frac{1}{2}\left( { - \frac{5}{8} - \left( { - \frac{5}{8}} \right)} \right) = 0\end{array}\)

Trên đây là bài học "Giải bài 1 trang 112 SGK Giải tích 12" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 1 lớp 12" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 12 của dayhoctot.com.