Giải bài 9 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao

• Bài học cùng chủ đề:
• Bài 10 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao
• Bài 11 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao
• Bài 12 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao
• Ngữ pháp tiếng anh hay nhất

Bài 9. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \({{x - 1} \over 2} = {{y + 1} \over { - 1}} = {z \over 3}.\)
a) Viết phương trình hình chiếu của \(\Delta \) trên các mặt phẳng tọa độ.
b) Chứng minh rằng mặt phẳng \(x + 5y + z + 4 = 0\) đi qua đường thẳng \(\Delta \).
c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và các trục tọa độ.
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ':x = y = z.\)
e) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả \(\Delta \) và ’\(\Delta '\).

Giải

a) Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số là:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 3t \hfill \cr} \right.\)

Vì điểm M(x, y, z) có hình chiếu trên (Oxy) là M’(x, y, 0) nên hình chiếu \({d_1}\) của \(\Delta \) trên (Oxy) có phương trình tham số là 

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 1 + t \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right.\)

Hình chiếu \({d_2}\) của \(\Delta \) trên (Oyz) là

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 3t \hfill \cr} \right..\)

Hình chiếu \({d_3}\) của \(\Delta \) trên (Oxz) là 

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 3t \hfill \cr} \right..\)

b) Lấy điểm \(M\left( {1 + 2t, - 1 - t,3t} \right) \in \Delta ,\) thay tọa độ của M vào phương trình \(mp\left( \alpha  \right)\) ta có:
\(1 + 2t - 5\left( {1 + t} \right) + 3t + 4 = 0 \Rightarrow M \in \left( \alpha  \right).\)
Vậy \(\Delta  \subset \left( \alpha  \right),\) tức \(mp\left( \alpha  \right)\) đi qua \(\Delta \).
c) \(\Delta \) qua điểm \(M\left( {1; - 1;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;3} \right).\)
Đường thẳng chứa trục Ox qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i \left( {1;0;0} \right)\).
Khoảng cách giữa \(\Delta \) và trục Ox là:

\({h_1} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right].\overrightarrow {OM} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right]} \right|}} = {{\left| { - 3} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = {{3\sqrt {10} } \over {10}}.\)

Khoảng cách giữa \(\Delta \) và trục Oy là:

\({h_2} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right].\overrightarrow {OM} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right]} \right|}} = {{\left| { - 3} \right|} \over {\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }} = {{3\sqrt {13} } \over {13}}.\)

Khoảng cách giữa \(\Delta \) và trục Oz là:

\({h_3} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right].\overrightarrow {OM} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right]} \right|}} = {{\left| 1 \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{\sqrt 5 } \over 5}.\)

d) Lấy \(P\left( {1 + 2t, - 1 - t,3t} \right) \in \Delta ,\,\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;3} \right).\)
\(Q\left( {t',t',t'} \right) \in \Delta ',\,\,\Delta '\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} \left( {1;1;1} \right).\)
Ta có \(\overrightarrow {QP}  = \left( {1 + 2t - t', - 1 - t - t',3t - t'} \right).\)

PQ là đường vuông góc chung của \(\Delta \) và \(\Delta '\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {PQ}  \bot \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {PQ}  \bot \overrightarrow {u'} ,\) tức là:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {QP} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {QP} .\overrightarrow {u'} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2\left( {1 + 2t - t'} \right) - \left( { - 1 - t - t'} \right) + 3\left( {3t - t'} \right) = 0 \hfill \cr
1 + 2t - t' - 1 - t - t' + 3t - t' = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
14t - 4t' = - 3 \hfill \cr
4t - 3t' = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = - {9 \over {26}} \hfill \cr
t' = - {6 \over {13}} \hfill \cr} \right.. \cr} \)

Do đó \(Q\left( { - {6 \over {13}}; - {6 \over {13}}; - {6 \over {13}}} \right)\) và \(\overrightarrow {QP}  = \left( {{{20} \over {16}},{{ - 5} \over {16}},{{ - 15} \over {16}}} \right) = {5 \over {16}}\left( {4; - 1; - 3} \right).\)

Đường thẳng PQ đi qua Q và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v  = \left( {4; - 1; - 3} \right).\) Do đó PQ có phương trình tham số là: 

\(\left\{ \matrix{
x = - {6 \over {13}} + 4t \hfill \cr
y = - {6 \over {13}} - t \hfill \cr
z = - {6 \over {13}} - 3t \hfill \cr} \right..\)

e) Lấy điểm \(P\left( {1 + 2t, - 1 - t,3t} \right) \in \Delta .\)

\(Q\left( {t',t',t'} \right) \in \Delta '.\)

PQ // Oz \( \Leftrightarrow \overrightarrow {QP} \) cùng phương với 

\(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 + 2t - t' = 0 \hfill \cr
- 1 - t - t' = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = - {2 \over 3} \hfill \cr
t' = - {1 \over 3}. \hfill \cr} \right.\)

Vậy PQ đi qua \(Q\left( { - {1 \over 3}, - {1 \over 3}, - {1 \over 3}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) nên PQ có phương trình tham số là: 

\(\left\{ \matrix{
x = - {1 \over 3} \hfill \cr
y = - {1 \over 3} \hfill \cr
z = - {1 \over 3} + t \hfill \cr} \right..\)

Trên đây là bài học "Giải bài 9 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 2 lớp 12" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 12 của dayhoctot.com.

• Từ khóa:
• Lớp 12
• Toán Lớp 12 Nâng Cao
• Môn Toán
• I. Bài tập tự luận
• Văn mẫu lớp 12