Giải bài 11 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao
Chia sẻ trang này
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng có phương trình trong đó a, b, c thay đổi sao cho a) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua một điểm cố định, góc giữa và Oz là không đổi. b) Tìm quỹ tích các giao điểm của và mp(Oxy).
- Bài học cùng chủ đề:
- Bài 12 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao
- Ngữ pháp tiếng anh hay nhất
Bài 11. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + at \hfill \cr
y = 1 + bt \hfill \cr
z = 5 + ct \hfill \cr} \right.\) trong đó a, b, c thay đổi sao cho \({c^2} = {a^2} + {b^2}.\)
a) Chứng minh rằng đường thẳng \(\Delta \) đi qua một điểm cố định, góc giữa \(\Delta \) và Oz là không đổi.
b) Tìm quỹ tích các giao điểm của \(\Delta \) và mp(Oxy).
Giải
a) \(\Delta \) đi qua điểm A(1; 1; 5) cố định.
\(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a,b,c} \right).\)
Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(\Delta \) và trục Oz. Ta có:
\(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \left| {{c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}} \right| = \left| {{c \over {c\sqrt 2 }}} \right| = {{\sqrt 2 } \over 2}.\)
Suy ra \(\varphi = {45^0}.\)
b) Vì \({c^2} = {a^2} + {b^2}\) nên \(c \ne 0\) (vì nếu c = 0 thì a = b = 0).
Gọi M(x, y, z) là giao điểm của \(\Delta \) và mp(Oxy) thì (x, y, z) thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + at \hfill \cr
y = 1 + bt \hfill \cr
z = 5 + ct \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 1 = at \hfill \cr
y - 1 = bt \hfill \cr
t = - {5 \over c} \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right..\)
Từ đó suy ra \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right).{{25} \over {{c^2}}} = 25\) và z = 0.
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I(1; 1; 0) bán kính bằng 5 và nằm trong mp(Oxy).
Chia sẻ trang này
Các chương học và chủ đề lớn
- Chương i. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
- Chương ii. hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
- Chương iii. nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
- Chương iv. số phức
- Ôn tập cuối năm đại số và giải tích
- Chương i. khối đa diện và thể tích của chúng
- Chương ii. mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
- Chương iii. phương pháp tọa độ trong không gian
- Ôn tập cuối năm hình học
