Giải bài 11 trang 16 và 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm cực trị của các hàm số sau:

Bài 11. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} + 2{x^2} + 3x - 1\);

b) \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} - {x^2} + 2x - 10\)

c) \(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\);

d) \(f\left( x \right) = \left| x \right|\left( {x + 2} \right);\)

e) \(f\left( x \right) = {{{x^5}} \over 5} - {{{x^3}} \over 3} + 2\);

f) \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x + 3} \over {x - 1}}\)

Giải

a) TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3;\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = - 3 \hfill \cr} \right.;f\left( { - 1} \right) = - {7 \over 3};\,f\left( { - 3} \right) = - 1\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x =  - 3\), giá trị cực đại của hàm số là \(f\left( { - 3} \right) =  - 1\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x =  - 1\), giá trị cực tiểu của hàm số là \(f\left( { - 1} \right) =  - {7 \over 3}\)

b) TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = {x^2} - 2x + 2 > 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\) (vì \(a > 0,\Delta ' < 0\))

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) , không có cực trị.
c) TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(f'\left( x \right) = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1\,\,\,\,;f\left( 1 \right) = 2 \hfill \cr
x = - 1;f\left( { - 1} \right) = - 2 \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { - 1} \right) =  - 2\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\), giá trị cực tiểu \(f\left( 1 \right) = 2\).

d) TXĐ: \(D=\mathbb R\) Hàm số liên tục trên \(\mathbb R\)

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
x\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,x \ge 0 \hfill \cr
- x\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,\,x < 0\, \hfill \cr} \right.\)

Với \(x > 0:\,f'\left( x \right) = 2x + 2 > 0\) với mọi \(x>0\)

Với \(x < 0:\,f'\left( x \right) =  - 2x - 2\,;\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\)

\(f\left( { - 1} \right) = 1\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { - 1} \right) = 1\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\), giá trị cực tiểu \(f\left( 0 \right) = 0\)

e) TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = {x^4} - {x^2} = {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;f\left( 0 \right) = 2 \hfill \cr
x = - 1;f\left( { - 1} \right) = {{32} \over {15}} \hfill \cr
x = 1;f\left( 1 \right) = {{28} \over {15}} \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { - 1} \right) = {{32} \over {15}}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\), giá trị cực tiểu \(f\left( 1 \right) = {{28} \over {15}}\)

f) TXĐ: \(D = {\bf{R}}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y'\left( x \right) = {{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 3} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 2x} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;f\left( 0 \right) = - 3 \hfill \cr
x = 2;f\left( 2 \right) = 1 \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), giá trị cực đại \(f\left( 0 \right) =  - 3\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\), giá trị cực tiểu \(f\left( 2 \right) = 1\)

Các bài học liên quan
Bài 19 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Bài 20 trang 22, SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 12 mới cập nhật