Giải câu 4 trang 121 SGK Hình học 11

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 600.

Bài 4. Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và có góc \(\widehat{ BAD} = 60^0\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SO = {{3a} \over 4}\) . Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn \(BC\) và \(F\) là trung điểm của đoạn \(BE\).

a) Chứng minh mặt phẳng \( (SOF)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\)

b) Tính các khoảng cách từ \(O\) và \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\)

Trả lời:

a) Theo giả thiết \(\widehat{ BAD} = 60^0\) nên theo tính chất của hình thoi \(\widehat{ BCD} = 60^0\) hay tam giác \(BDC\) đều.

Xét tam giác \(BOE\) có \(BO=BE={a\over 2}\) và \(\widehat{ OBE} = 60^0\) nên tam giác \(BOE\) đều

Do đó \(OF\) là đường cao và ta được \(OF ⊥BC\). 

\(\left. \matrix{
SO \bot (ABCD) \hfill \cr
{\rm{OF}} \bot {\rm{BC}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow SF \bot BC\)

(Định lí 3 đường vuông góc) 

\(\left. \matrix{
SF \bot BC \hfill \cr
{\rm{OF}} \bot {\rm{BC}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BC \bot (SOF)\)

Mà \(BC ⊂ (SBC)\)

Suy ra \((SOF) ⊥ (SBC)\)

b) Vì \((SOF) ⊥ (SBC)\) và hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến \(SF\) nên nếu từ điểm \(O\) ta kẻ \(OH⊥SF\) thì \(OH⊥(SBC)\) và \(OH\) chính là khoảng cách từ \(O\) đến \((SBC)\)

Ta có:

\(\eqalign{
& SO = {{3a} \over 4}{\rm{;OF = }}{{a\sqrt 3 } \over 4} \Rightarrow SF = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr
& OH.SF = SO.{\rm{OF}} \Rightarrow {\rm{OH = }}{{3a} \over 8} \cr} \)

 Gọi \(K\) là hình chiếu của \(A\) trên \((SBC)\), ta có \(AK//OH\)

Trong \(ΔAKC\) thì \(OH\) là đường trung bình, do đó:

 \(AK = 2OH \Rightarrow AK = {{3a} \over 4}\)

Các bài học liên quan
Câu 1 trang 125 SGK Hình học 11
Câu 3 trang 126 SGK Hình học 11
Câu 4 trang 126 SGK Hình học 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật