Giải câu 7 trang 122 SGK Hình học 11

Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC

Bài 7. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(ABCD\) cạnh \(a\), góc \(\widehat {BAD} = 60^0\) và \(SA = SB = SD = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

a) Tính khoảng cách từ \(S\)  đến mặt phẳng \((ABCD)\) và độ dài cạnh \(SC\)

b) Chứng minh mặt phẳng \((SAC)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\)

c) Chứng minh \(SB\) vuông góc với \(BC\)

d) Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng \((SBD)\) và \((ABCD)\). Tính \(\tan\varphi\)

Trả lời:

a) Kẻ \(SH⊥(ABCD)\)

Do \(SA = SB = SD\) suy ra \(HA = HB = HC\)

\(⇒ H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABD\).

Do \(AB = AD = a\) và \(\widehat{ BAD} = 60^0\) nên tam giác \(ABD\) là tam giác đều cạnh \(a\),

Ta có: 

\(\eqalign{
& AO = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr
& AH = {2 \over 3}AO \Rightarrow AH = {{a\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)

 Trong tam giác vuông \(SAH\), ta có: \(SA = {{a\sqrt 3 } \over 2};AH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

Tính ra: \(SH = {{a\sqrt {15} } \over 6}\)

Ta cũng có: \(HC = {{2a\sqrt 3 } \over 3}\)

Trong tam giác vuông \(SHC\):

\(S{C^2} = S{H^2} + H{C^2}\)      

Do đó ta tính được:

 \(SC = {{a\sqrt 7 } \over 2}\)

 

b) 

\(\left. \matrix{
SH \bot (ABCD) \hfill \cr
SH \subset (SAC) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow (SAC) \bot (ABCD)\)

c) Ta có:

\(\eqalign{
& S{C^2} = {{7{a^2}} \over 4}(1) \cr
& B{C^2} = {a^2}(2) \cr
& S{B^2} = {{3{a^2}} \over 4}(3) \cr} \)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(S{C^2} = B{C^2} + S{B^2}\)

Theo định lí Pytago đảo, tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\).

d) Ta có:

\(\eqalign{
& \left. \matrix{
DB \bot AC \hfill \cr
SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot DB \hfill \cr} \right\} \Rightarrow DB \bot (SAC) \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
DB \bot {\rm{OS}} \hfill \cr
{\rm{DB}} \bot AC \hfill \cr} \right. \cr} \)

Suy ra: \(\widehat{ SOH}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((SBD)\) và \((ABCD)\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \widehat{ SOH} = \varphi \cr
& \tan \varphi = {{SH} \over {OH}} \Rightarrow \tan \varphi = \sqrt 5 \cr} \)

Các bài học liên quan
Câu 3 trang 126 SGK Hình học 11
Câu 4 trang 126 SGK Hình học 11
Câu 5 trang 126 SGK Hình học 11
Câu 7 trang 126 SGK Hình học 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật