Giải câu 13 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Hãy xét tính tăng

Bài 13. Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau :

a. Dãy số (un) với \({u_n} = {n^3} - 3{n^2} + 5n - 7\) ;

b. Dãy số (xn) với  \({x_n} = {{n + 1} \over {{3^n}}}\)

c. Dãy số (an) với  \({a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \)

Hướng dẫn :

a. Xét hiệu un+1 – un.

b. Xét tỉ số  \({{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}}\)

c. Viết lại công thức xác định an dưới dạng

\({a_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)

Tiếp theo, xét tỉ số  \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}\)

Giải:

a. Ta có:

\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^3} - 3{\left( {n + 1} \right)^2} + 5\left( {n + 1} \right) - 7 - \left( {{n^3} - 3{n^2} + 5n - 7} \right) \cr
& = 3{n^2} - 3n + 3 > 0,\forall n \in \mathbb N^* \cr} \)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

b. Ta có:

\(\eqalign{
& {{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}} = {{n + 1} \over {{3^n}}}.{{{3^{n + 1}}} \over {n + 2}} = {{3\left( {n + 1} \right)} \over {n + 2}} = {{3n + 3} \over {n + 2}} > 1\;\forall n  \in \mathbb N^* \cr
& \Rightarrow {x_n} > {x_{n + 1}} \cr} \)

\(⇒ (x_n)\) là dãy số giảm.

c. Ta có:

\(\eqalign{
& {a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr
& {{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} = {{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 1 \cr
& \Rightarrow {a_n} > {a_{n + 1}} \cr} \)

⇒ \((a_n)\) là dãy số giảm.

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật