Giải câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Hãy chứng minh

Bài 5. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau :

\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {24}}.\)

Giải:

+) Với \(n = 2\) ta có :  \({1 \over 3} + {1 \over 4} = {7 \over {12}} > {{13} \over {24}}\)

Như vậy  (1) đúng khi \(n = 2\)

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k > 2\), tức là giả sử

\({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}}\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh

\({1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} > {{13} \over {24}}\)

Thật vậy , ta có:

\(\eqalign{
& {1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} \cr
& = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} - {1 \over {k + 1}} \cr
& = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {{2\left( {k + 1} \right) + 2k + 1 - 2\left( {2k + 1} \right)} \over {2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} \cr
& = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} \cr
& > {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}} \cr} \)

(theo giả thiết quy nạp)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên \(n > 1\).

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật