Lí thuyết tích phân
Chia sẻ trang này
1. Tích phân và tính chất
1. Tích phân và tính chất
Định nghĩa. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] , hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x).
Kí hiệu là : \(\int_a^b f (x)dx\)
Vậy ta có :\(\int_a^b f (x)dx = F(b) - F(a) = F(x)|_a^b\)
Chú ý : Trong trường hợp a = b, ta định nghĩa: \(\int_a^a f (x)dx = 0\)
Trường hợp a>b, ta định nghĩa: \(\int_a^b f (x)dx = - \int_b^a f (x)dx)\)
Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là :
\(\int_a^b f (x)dx = \int_b^a f (t)dt) = \int_a^b f (u)du = ...\) (vì đều bằng F(b) - F(a))
Tính chất của tích phân:
\(\int_a^b k f(x)dx = k\int_a^b f (x)dx\) ( với k là hằng số)
\(\int_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]} d{\rm{x}} = \int_a^b {f\left( x \right)} d{\rm{x}} \pm \int_a^b {g\left( x \right)} d{\rm{x}}\)
\(\int_a^b f (x)dx = \int_a^c f (x))dx + \int_c^b f (x)dx\) (với a<b<c)
2. Phương pháp tinh tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
Định lí. Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ(α)=a, φ(β)=b và a ≤ φ(t) ≤ b , ∀t ∈ [α;β] . Khi đó:
\(\int_a^b f (x)dx = \int_\alpha ^\beta f (\psi (t))\psi '(t)dt\)
Chú ý. Có thể dử dụng phép biến đổi số ở dạng sau:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho α ≤ u(x) ≤ β, ∀ x∈ [a;b]. Nếu f(x) =g[u(x)].u’(x) ∀ x∈ [a;b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α;β] thì:
\(\int_a^b f (xdx) = \int_{u(a)}^{u(b)} g (u)du\)
b) Phương pháp tính tích phân từng phần
Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì :
\(\int_a^b u (x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]|_a^b - \int_a^b {u'} (x)v(x)dx\)
hay \(\int_a^b u dv = uv|_a^b - \int_a^b v du\)
3. Bất đẳng thức (phần kiến thức bổ sung).
Nếu f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì : \(\int_a^b f (x)dx \ge 0\)
Từ đó ta có:
Nếu g(x), f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và 0 ≤ g(x) ≤ f(x), ∀ x ∈ [a;b] thì
\(\int_a^b g (x)dx \le \int_a^b f (x)dx\). Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi g(x) ≡ f(x).
Suy ra: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a;b] thì
\(m(b - a) \le \int_a^b f (x)dx \le M(b - a)\)
Chia sẻ trang này
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
