Giải câu 7 trang 107 SGK Đại số và giải tích 11

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết:

Bài 7. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số \((u_n)\), biết:

a) \({u_n} = n + {1 \over n}\)

b) \({u_n} = {( - 1)^n}\sin {1 \over n}\)

c) \({u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n \)

Trả lời:

Xét hiệu:

\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} = (n + 1 + {1 \over {n + 1}}) - (n + {1 \over n}) = 1 + {1 \over {n + 1}} - {1 \over n} \cr
& = {{{n^2} + n - 1} \over {n(n + 1)}} > 0,\forall n \in {N^*} \cr} \)

 Suy ra: \(u_n\) là dãy số tăng                                     (1)

Mặt khác: \({u_n} = n + {1 \over n} \ge 2\sqrt {n.{1 \over n}}  = 2,\forall n \in {N^*}\)

Nên \(u_n\) là dãy số bị chặn dưới                             (2)

Ta thấy khi \(n\) càng lớn thì \(u_n\) càng lớn nên \(u_n\) là dãy số không bị chặn trên                                                (3)

Từ (1), (2), (3) ta có \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b) Ta có:

 \(u_1= (-1)^0sin1 = sin 1 > 0\)

\(\eqalign{
& {u_2} = {\left( { - 1} \right)^1}.\sin {1 \over 2} = - \sin {1 \over 2} < 0 \cr
& {u_3} = {( - 1)^2}.\sin {1 \over 3} = \sin {1 \over 3} > 0 \cr} \)

\(⇒ u_1> u_2\) và \(u_2< u_3\)

Vậy \(u_n\) là dãy số tăng không đơn điệu.

Ta lại có:

\(\eqalign{
& |{u_n}| = |{( - 1)^{n - 1}}.\sin {1 \over n}| = |\sin {1 \over n}| \le 1 \cr
& \Leftrightarrow - 1 \le {u_n} \le 1 \cr} \)

Vậy \(u_n\) là dãy số bị chặn và không đơn điệu.

c) Ta có:

\({u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  = {{n + 1 - n} \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\)

Xét hiệu:

\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} = {1 \over {\sqrt {(n + 1) + 1} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr
& = {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr} \) 

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
\sqrt {n + 2} > \sqrt {n + 1} \hfill \cr
\sqrt {n + 1} > \sqrt n \hfill \cr} \right. \Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n \)

 \( \Rightarrow {1 \over {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }} < {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\)

⇒ un là dãy số giảm                                            (1)

Mặt khác:

\({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} > 0,\forall n \in N*\)

Suy ra: un là dãy số bị chặn dưới                         (2)

Ta lại có: với n ≥ 1 thì \(\sqrt {n + 1}  + \sqrt n  \ge \sqrt 2  + 1\)

Nên \({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \le {1 \over {\sqrt 2  + 1}}\)

Suy ra: \(u_n\) là dãy số bị chặn trên                            (3)

Từ (1), (2) và (3)  ta có: \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn

Các bài học liên quan
Câu 12 trang 108 SGK SGK  Đại số và giải tích 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật