Giải câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1, ta có:

Chứng minh rằng với mọi \(n ≥ 1\), ta có :

a. Nếu  \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\,\text{ thì }\,{f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\)

b. Nếu  \(f\left( x \right) = \cos x\,\text{ thì }\,{f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = \cos x.\)

c. Nếu \(f\left( x \right) = \sin ax\) (a là hằng số) thì  \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = {a^{4n}}\sin ax.\)

Giải

a. Cho \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\left( {x \ne 0} \right).\) Ta hãy chứng minh công thức :

\({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\left( {\forall x \ge 1} \right)\,\,\left( 1 \right)\) bằng phương pháp qui nạp.

+ Với \(n = 1\), ta có :  \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = f'\left( x \right) =  - \frac{1}{{{x^2}}}\,\text{ và }\,\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}} =  - \frac{1}{{{x^2}}}\)

Suy ra (1) đúng khi n = 1.

+ Giả sử (1) đúng cho trường hợp \(n = k (k ≥ 1)\), tức là : \({f^{\left( k \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}\),

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho trường hợp \(n = k + 1\), tức là :

\({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\) 

Thật vậy, ta có :

 \({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( k \right)}}\left( x \right)} \right]' =  - \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}k!.\left( {k + 1} \right){x^k}}}{{{x^{2\left( {k + 1} \right)}}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)

b. Cho \(f(x) = \cos x\). Ta hãy chứng minh công thức :

\({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = \cos x\left( {\forall n \ge 1} \right)\,\,\left( 2 \right)\) bằng phương pháp qui nạp.

Ta có:  \(f'\left( x \right) =  - \sin x;f"\left( x \right) =  - \cos x;\)

\(f'''\left( x \right) = \sin x;{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x\)

+ Với n = 1 thì  \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = {f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x\)

Suy ra (2) đúng khi n = 1

+ Giả sử (2) đúng cho trường hợp \(n = k (k ≥ 1)\), tức là :  \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = \cos x,\)

Ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :  

\({f^{\left( {4\left( {k + 1} \right)} \right)}}\left( x \right) = \cos x\,\left( {hay\,{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = \cos x} \right)\)

Thật vậy, vì : 

\(\begin{array}{l}
{f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = \cos x\,\text{ nên }\,{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = - \sin x\\
{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = - \cos x\\
{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = \sin x\\
{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = \cos x
\end{array}\)

c. Ta có: 

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = a{\mathop{\rm cosax}\nolimits} \\
f"\left( x \right) = - {a^2}\sin ax\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = - {a^3}\cos ax\\
{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {a^4}\sin ax
\end{array}\)

Với \(n = 1\) ta có \({f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {a^4}\sin ax,\) đẳng thức đúng với \(n = 1\)

Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k\) tức là :  \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax\)

Với \(n = k + 1\) ta có  \({f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = {\left( {{f^{\left( {4k} \right)}}} \right)^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {\left( {{a^{4k}}\sin ax} \right)^{\left( 4 \right)}}\)

Do \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax\) 

\(\begin{array}{l}
{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k + 1}}\cos ax\\
{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = - {a^{4k + 2}}\sin ax\\
{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = - {a^{4k + 3}}\cos ax\\
{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k + 4}}\sin ax
\end{array}\)

Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), do đó đẳng thức đúng với mọi n.

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật