Giải câu 53 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chia sẻ trang này

Gọi (C) là đồ thị của hàm số

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + 2{x^2} - 1\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau :

a. Biết tung độ tiếp điểm bằng 2

b. Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành

c. Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y = - {1 \over 8}x + 3\)

d. Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; -6)

Giải:

a. \(f'\left( x \right) = 4{x^3} + 4x\) .Ta có \(2 = {y_0} = x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x_0^2 = 1} \cr {x_0^2 = - 3\,\left( \text{loại} \right)} \cr } \Leftrightarrow {x_0} = \pm 1} \right.\)

* Với x₀ = 1 ta có \(f'\left( 1 \right) = {4.1^3} + 4.1 = 8\)

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

\(y - 2 = 8\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = 8x - 6\)

* Với x₀ = -1 ta có \(f'\left( { - 1} \right) = 4.{\left( { - 1} \right)^3} + 4.\left( { - 1} \right) = - 8\)

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

\(y - 2 = - 8\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = - 8x - 6\)

b. Tiếp tuyến song song với trục hoành tại điểm có hoành độ x₀ thỏa :

\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x_0^3 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow 4{x_0}\left( {x_0^2 + 1} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x_0} = 0\,\,\left( {{y_0} = - 1} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : \(y - \left( { - 1} \right) = 0\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y = - 1\)

c. Vì tiếp tuyến phải tìm vuông góc với đường thẳng \(y = - {1 \over 8}x + 3,\) nên hệ số vuông góc của tiếp tuyến bằng 8, suy ra :

\(\eqalign{ & y' = 8 \Leftrightarrow 4{x^3} + 4x - 8 = 0 \cr & \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \cr} \)

Theo câu a, ta được phương trình tiếp tuyến phải tìm là : \(y = 8x – 6\)

d. Cách 1 : Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) của đồ thị (C) là :

\(\eqalign{ & y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) \cr & \Leftrightarrow y = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \cr} \)

Vì tiếp tuyến phải tìm đi qua điểm A(0 ; -6) nên ta có :

\(\eqalign{ & - 6 = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \cr & \Leftrightarrow 3x_0^4 + 2x_0^2 - 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow x_0^2 = 1\Leftrightarrow{x_0} = \pm 1 \cr} \)

Theo câu a, phương trình của hai tiếp tuyến cần phải tìm lần lượt là :

\(y = 8x - 6;\;y = - 8x -6\)

Cách 2 : Phương trình đường thẳng (1) đi qua điểm A(0 ; -6) với hệ số góc bằng k là : y = kx – 6

Để đường thẳng (1) là tiếp tuyến của đồ thị (C) (hay tiếp xúc với đồ thị (C)) thì ta phải tìm k sao cho :

\(\left\{ {\matrix{ {f\left( x \right) = kx - 6} \cr {f'\left( x \right) = k} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {{x^4} + 2{x^2} - 1 = kx - 6} \cr {4{x^3} + 4x = k} \cr } } \right.\)

Khử k từ hệ trên ta được : \(3{x^4} + 2{x^2} - 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\)

Suy ra \(k = ± 8\).

Vậy hai tiếp tuyến phải tìm có phương trình là : \(y = 8x - 6;\;y = - 8x -6\)

Trên đây là bài học "Giải câu 53 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 2 lớp 11" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 11 của dayhoctot.com.