Giải câu 19 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao

• Bài học cùng chủ đề:
• Câu 20 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao
• Ngữ pháp tiếng anh hay nhất

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

a. Chứng minh rằng SG ⊥ (ABC). Tính SG.

b. Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm C₁ nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P).

Giải

a. Vì SA = SB = SC nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mà G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SG ⊥ mp(ABC)

Gọi I là trung điểm của BC. Ta có : AI ⊥ BC và BC ⊥ SI

\(\eqalign{  & SI = \sqrt {S{C^2} - I{C^2}}  = \sqrt {{b^2} - {{{a^2}} \over 4}}  ={ \sqrt {{4{b^2} - {a^2}} }\over 2}   \cr  & GI = {1 \over 3}AI = {1 \over 3}.a{{\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 6} \cr} \)

Trong tam giác vuông SGI ta có :

\(SG = \sqrt {S{I^2} - G{I^2}}  = \sqrt {{{4{b^2} - {a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over {12}}}  = \sqrt {{{12{b^2} - 4{a^2}} \over {12}}}\)

        \(  = \sqrt {{{3{b^2} - {a^2}} \over 3}} \)

b. Kẻ AC₁ ⊥ SC thì (P) chính là mp(ABC₁)

Vì SAC là tam giác cân mà AC₁ ⊥ SC nên C₁ nằm giữa S và C khi và chỉ khi

\(\widehat {ASC} < 90^\circ  \Leftrightarrow A{S^2} + C{S^2} > A{C^2} \Leftrightarrow 2{b^2} > {a^2}\)

Ta có : AB ⊥ GC và AB ⊥ SG ⇒ AB ⊥ SC

SC ⊥ AC₁ và SC ⊥ AB nên SC ⊥ (ABC₁)

Thể tích tứ diện SABC là :

\(\eqalign{  & {V_{SABC}} = {1 \over 3}SG.{S_{ABC}} = {1 \over 3}SC.{S_{AB{C_1}}}  \cr  &  \Rightarrow {S_{AB{C_1}}} = {{SG.{S_{ABC}}} \over {SC}} = {{\sqrt {{{3{b^2} - {a^2}} \over 3}} .{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}} \over b} = {{{a^2}\sqrt {3{b^2} - {a^2}} } \over {4b}} \cr} \)

Trên đây là bài học "Giải câu 19 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 1 lớp 11" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 11 của dayhoctot.com.

• Từ khóa:
• Lớp 11
• Toán Lớp 11 Nâng Cao
• Môn Toán
• Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
• Văn mẫu lớp 11