Giải câu 23 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao

Chia sẻ trang này

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. a. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’). b. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.

Bài học cùng chủ đề:
Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 26 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao
Ngữ pháp tiếng anh hay nhất

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.

a. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’).

b. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.

Giải

a. Ta có: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \)

và \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \)

Vậy \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right).\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

Tương tự, ta có: \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BA'} = 0\)

Vậy AC’ ⊥ (A’BD)

Do (A’BD) // (B’CD’) nên AC’ ⊥ (B’CD’)

b. Gọi M là trung điểm của BC thì MA = MC’ (vì cùng bằng \({{a\sqrt 5 } \over 2}\) ) nên M thuộc mặt phẳng trung trực (α) của AC’

Tương tự, ta chứng minh được N, P, Q, R, S cũng có tính chất đó (N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B).

Vậy thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mp(α) là MNPQRS. Đây là lục giác đều cạnh bằng \({{a\sqrt 2 } \over 2}\). Từ đó ta tính được diện tích của thiết diện là : \(S = 6.{\left( {{{a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2}.{{\sqrt 3 } \over 4} = {{3\sqrt 3 } \over 4}{a^2}.\)

dayhoctot.com

Trên đây là bài học "Giải câu 23 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 1 lớp 11" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 11 của dayhoctot.com.