Giải câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚.

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OO1 vuông góc với SC, dễ thấy mp(BO1D) vuông góc với SC. Vậy góc giữa hai mp(SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng BO1 và DO1. Mặt khác OO1 ⊥ BD, OO1 < OC mà OC = OB nên \(\widehat {B{O_1}O} > 45^\circ .\)

Tương tự \(\widehat {D{O_1}O} > 45^\circ \) tức \(\widehat {B{O_1}D} >90^\circ \)

Như vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc \(60^\circ \) khi và chỉ khi: 

\(\widehat {B{O_1}D} =120^\circ \) \( \Leftrightarrow\) \(\widehat {B{O_1}O} = 60^\circ \) (vì ΔBO1D cân tại O1)

\( \Leftrightarrow BO = O{O_1}\tan 60^\circ  \Leftrightarrow BO = O{O_1}\sqrt 3 \)

Ta lại có : \(O{O_1} = OC\sin \widehat {OC{O_1}} = OC\sin \widehat {ACS} = OC.{{SA} \over {SC}}\)

Như vậy : \(BO = O{O_1}\sqrt 3  \Leftrightarrow BO = \sqrt 3 .OC.{{SA} \over {SC}} \Leftrightarrow SC = \sqrt 3 .SA\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{a^2}}  = \sqrt 3 .x \Leftrightarrow x = a\)

Vậy khi x = a thì hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚

Các bài học liên quan
Câu 28 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 30 trang 117 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 32 trang 117 SGK Hình học 11 Nâng cao

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật