Giải câu 47 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Chứng minh rằng:

Chứng minh rằng :

a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2\) liên tục trên \(\mathbb R\)

b. Hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}\) liên tục trên khoảng (-1 ; 1) ;

c. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) liên tục trên đoạn [-2 ; 2];

d. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) liên tục trên nửa khoảng  \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Giải:

a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2\) xác định trên \(\mathbb R\). Với mọi \(x_0\in\mathbb R\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^4} - {x^2} + 2} \right) = x_0^4 - x_0^2 + 2 = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy f liên tục tại x0 nên f liên tục trên \(\mathbb R\).

b. Hàm số f xác định khi và chỉ khi :

\(1 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1\)

Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1 ; 1)

Với mọi x0ϵ (-1 ; 1), ta có :  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }} = {1 \over {\sqrt {1 - x_0^2} }} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục tại điểm x0. Do đó f liên tục trên khoảng  (-1 ; 1)

c. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) xác định trên đoạn [-2 ; 2]

Với mọi \({x_0} \in \left( { - 2;2} \right)\) , ta có:  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2x_0^2} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2 ; 2). Ngoài ra, ta có :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{{\left( { - 2} \right)}^2}} = 0 = f\left( { - 2} \right)\)

và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ - }} = \sqrt {8 - {{2.2}^2}} = 0 = f\left( 2 \right)\)

Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2 ; 2]

d. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) xác định trên nửa khoảng  \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Với \({x_0} \in \left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\) ta có  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2x - 1} = \sqrt {2{x_0} - 1} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Nên hàm số liên tục trên khoảng  \(\left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Mặt khác ta có  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} \sqrt {2x - 1} = 0 = f\left( {{1 \over 2}} \right)\)

Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng  \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật