Giải câu 8 trang 95 SGK Hình học 11 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

a. Cho vecto ... không cùng phương. Chứng minh rằng nếu vecto vuông góc với cả hai vecto

a. Cho vecto \(\overrightarrow n \) khác \(\overrightarrow 0 \) và hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương. Chứng minh rằng nếu vecto \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thì ba vecto \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không đồng phẳng.

b. Chứng minh rằng ba vecto cùng vuông góc với vecto \(\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 \) thì đồng phẳng. Từ đó suy ra các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng.

Giải

a. Nếu \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) đồng phẳng thì có hai số k, l sao cho \(\overrightarrow n  = k.\overrightarrow a  + l.\overrightarrow b \)

suy ra \(\overrightarrow n .\overrightarrow n  = k\overrightarrow a .\overrightarrow n  + l\overrightarrow b .\overrightarrow n  = 0 \Rightarrow {\left| {\overrightarrow n } \right|^2} = {\overrightarrow n ^2} = 0 \)

\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow n } \right| = 0 \)

\(\Rightarrow \overrightarrow n  = \overrightarrow 0 \) (vô lí)

vậy \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không đồng phẳng

b. Giả sử ba vecto cùng vuông góc với \(\overrightarrow n \) là \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \)

Tức là \(\overrightarrow a .\overrightarrow n  = \overrightarrow b .\overrightarrow n  = \overrightarrow c .\overrightarrow n  = 0\)

Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vecto cùng phương thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng

Nếu \(\overrightarrow a  \) và \(\overrightarrow b \) là hai vecto không cùng phương thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow n \) là ba vecto không đồng phẳng (điều này suy ra từ câu a)

Khi đó \(\overrightarrow c  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b  + z\overrightarrow n .\) Nhân vô hướng hai vế với \(\overrightarrow n ,\) ta có \(\overrightarrow c .\overrightarrow n  = x\overrightarrow a .\overrightarrow n  + y\overrightarrow b .\overrightarrow n  + z{\overrightarrow n ^2}\) suy ra \(z{\overrightarrow n ^2} = 0\,hay\,z = 0,\) tức là \(\overrightarrow c  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b .\)

Vậy các vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng

Nếu ba đường thẳng d1, d2, d3 cùng vuông góc với một đường thẳng thì do kết quả nêu trên, ta có ba vecto chỉ phương của ba đường thẳng d1,d2 ,d3 đồng phẳng tức là ba đường thẳng d1,d2 ,d3 cùng song song với một mặt phẳng.

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan

Câu 14 trang 102 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho điểm S có hình chiếu trên mp(P) là H. Với điểm M bất kì trên (P) (M không trùng H), ta gọi đoạn thẳng SM là đường xiên, đoạn thẳng HM là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng:
Câu 14 trang 102 SGK Hình học 11 Nâng cao
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật