Giải câu 44 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Chứng minh rằng

Bài 44. Chứng minh rằng

\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {n - 1} \right).{n^2} = {{n\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)} \over {12}}\)    (1)

Với mọi số nguyên \(n ≥ 2\)

Giải:

+) Với \(n = 2\) ta có :

\({1.2^2} = {{2\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {3.2 + 2} \right)} \over {12}} = 4\)

Vậy (1) đúng với \(n = 2\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có :

\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right){k^2} = {{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)} \over {12}}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)

\(\eqalign{
& {1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right).{k^2} + k.{\left( {k + 1} \right)^2} \cr
& = {{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)} \over {12}} + k{\left( {k + 1} \right)^2} \cr
& = {{k\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k - 1} \right)\left( {3k + 2} \right) + 12\left( {k + 1} \right)} \right]} \over {12}} \cr
& = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 11k + 10} \right)} \over {12}} \cr
& = {{k\left( {k + 1} \right)\left[ { {3k\left( {k + 2} \right)} + 5\left( {k + 2} \right)} \right]} \over {12}} \cr
& = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k} \right)\left( {3k + 5} \right)} \over {12}} \cr
& = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 2} \right]} \over {12}} \cr} \)

Điều đó chứng tỏ (1) đúng với \(n = k + 1\)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n ≥ 2\)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật