Giải câu 45 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Cho dãy số (un) xác định bởi

Bài 45. Cho dãy số (un) xác định bởi

\({u_1} = 2\text{ và }{u_n} = {{{u_{n - 1}} + 1} \over 2}\) với mọi \(n ≥ 2\)

Chứng minh rằng

\({u_n} = {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}}\)   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Giải:

+) Với \(n = 1\), theo giả thiết ta có \({u_1} = 2 = {{{2^{1 - 1}} + 1} \over {{2^{1 - 1}}}}\) . Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k,\; k \in\mathbb N^*\) tức là:

\(u_k={{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)

Khi đó, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có:

\({u_{k + 1}} = {{{u_k} + 1} \over 2} = {{{{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}} + 1} \over 2} = {{{2^k} + 1} \over {{2^k}}}\)

Nghĩa là (1) đúng với \(n = k + 1\).

Vậy (1) đúng với mọi \(n \in\mathbb N^*\)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật