Giải câu 51 trang 175 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Giải thích vì sao:

Giải thích vì sao :

a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\sin x - 2{\cos ^2}x + 3\) liên tục trên \(\mathbb R\).

b. Hàm số \(g\left( x \right) = {{{x^3} + x\cos x + \sin x} \over {2\sin x + 3}}\) liên tục trên \(\mathbb R\)

c. Hàm số \(h\left( x \right) = {{\left( {2x + 1} \right)\sin x - {{\cos }^3}x} \over {x\sin x}}\) liên tục tại mọi điểm \(x ≠ kπ, k \in\mathbb Z\).

Giải

a. Với mọi \(x_0\in \mathbb R\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^2} = x_0^2,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}\sin x= \sin {x_0}\)

\(\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos x = \cos {x_0}\)

(vì các hàm số y = sinx và y = cosx liên tục trên R)

Do đó :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits} - 2co{s^2}x + 3} \right) \)

\(= x_0^2\sin {x_0} - 2{\cos ^2}{x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục tại mọi điểm \(x_0\in\mathbb R\).

Do đó hàm số f liên tục trên \(\mathbb R\).

b. Tập xác định của g là \(\mathbb R\)

Với mọi \(x_0\in\mathbb R\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^3} = x_0^3,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sin x = \sin {x_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos x = \cos {x_0}\)

Do đó  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = {{x_0^3 + {x_0}\cos {x_0} + \sin {x_0}} \over {2\sin {x_0} + 3}} = g\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số g liên tục tại mọi \(x_0\in\mathbb R\).

Do đó g liên tục trên \(\mathbb R\).

c. Tương tự b, \(∀ x_0 ≠ kπ, k \in\mathbb Z\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} h\left( x \right) = {{\left( {2{x_0} + 1} \right)\sin {x_0} - {{\cos }^3}{x_0}} \over {{x_0}\sin {x_0}}} = h\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số h liên tục tại mọi \(x_0\in\mathbb R\).

Do đó h liên tục trên \(\mathbb R\).

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật