Giải câu 46 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Chứng minh rằng:

Chứng minh rằng :

a. Các hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\,\text {và }\,g\left( x \right) = {{{x^3} - 1} \over {{x^2} + 1}}\) liên tục tại mọi điểm \(x \in\mathbb R\).

b. Hàm số  \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}}\,\text{ với}\,x \ne 2,} \cr {1\,\text{ với}\,x = 2} \cr} } \right.\)

liên tục tại điểm \(x = 2\)

c. Hàm số  \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} - 1} \over {x - 1}}\,\text{ với}\,x \ne 1} \cr {2\,\text{ với}\,x = 1} \cr} } \right.\)

gián đoạn tại điểm \(x = 1\)

Giải:

a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\) xác định trên \(\mathbb R\). Với mọi \(x_0\in\mathbb R\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^3} - x + 3} \right) = x_0^3 - {x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy f liên tục tại điểm x0. Do đó hàm số f liên tục trên \(\mathbb R\).

Hàm số g là hàm phân thức nên g liên tục trên tập xác định \(D=\mathbb R\).

b. Với mọi \(x ≠ 2\), ta có:

\(f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}} = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {x - 2}} = x - 1\)

Do đó  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( x-1 \right) = 1 = f\left( 2 \right)\)

Vậy hàm số f liên tục tại điểm \(x = 2\)

c) Với mọi  \(x ≠ 1\), ta có:

\(f(x) = {{{x^3} - 1} \over {x - 1}} = {x^2} + x + 1\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,({x^2} + x + 1) = 3 \ne 2 = f(1)\)

Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm \(x = 1\)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật