Giải câu 22 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao
Chia sẻ trang này
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD a. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy b. Gọi A’ là trọng tâm của mặt BCD. Chứng minh rằng GA = 3GA’
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD
a. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy
b. Gọi A’ là trọng tâm của mặt BCD. Chứng minh rằng GA = 3GA’
Giải
a. Trong mp(ABN) gọi A’ là giao điểm của AG với trung tuyến BN của ΔBCD. Ta chứng minh :
A’B = 2A’N
Áp dụng định lí Menelaus trong ΔBMN với cát tuyến AGA’ ta có :
\({{AM} \over {AB}}.{{GN} \over {GM}}.{{A'B} \over {A'N}} = 1 \Rightarrow {1 \over 2}.1.{{A'B} \over {A'N}} = 1 \Rightarrow A'B = 2A'N\)
Vậy A’ là trọng tâm của ΔBCD
Tương tự BG ,CG, DG lần lượt đi qua trọng tâm B’, C’, D’ của tam giác ACD, ABD, ABC.
b. Chứng minh GA = 3GA’
Áp dụng định lí Menelaus trong ΔABA’ với cát tuyến MGN ta có :
\({{MA} \over {MB}}.{{GA'} \over {GA}}.{{NB} \over {NA'}} = 1 \Rightarrow 1.{{GA'} \over {GA}}.3 = 1 \)
\(\Rightarrow GA = 3GA'\,\,\left( {dpcm} \right)\)
Chia sẻ trang này
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
- Chương i. hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
- Chương ii. tổ hợp và xác suất
- Chương iii. dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân
- Chương iv. giới hạn
- Chương v. đạo hàm
- Ôn tập cuối năm đại số và giải tích
- Chương i. phép dời hình và đồng dạng trong mặt phẳng
- Chương ii: đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. quan hệ song song
- Chương iii: vectơ trong không gian. quan hệ vuông góc
- Ôn tập cuối năm hình học
