Giải câu 25 trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(y = {x^2}\) , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1).

Hướng dẫn : Trước hết viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thuộc parabol đã cho. Sau đó tìm x0 để tiếp tuyến đi qua điểm A (chú ý rằng điểm A không thuộc parabol).

Giải:

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2}\) và gọi M0 là điểm thuộc (P) với hoành độ x0. Khi đó tọa độ của điểm M0 là \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\,hay\,\left( {{x_0};x_0^2} \right)\)

Cách 1 : Ta có: \(y’ = 2x\). Phương trình tiếp điểm của (P) tại điểm M0 là

\(y = 2{x_0}\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^2 \Leftrightarrow y = 2{x_0}x - x_0^2\)

Tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1) nên ta có :

\( - 1 = 2{x_0}.0 - x_0^2 \Leftrightarrow {x_0} =  \pm 1\)

+ Với x0 = 1 thì f(x0) = 1, f ’(x0) = 2 và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :

\(y = 2\left( {x - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 2x - 1\) 

+ Với x0 = -1 thì f(x0) = 1, f ’(x0) = -2

và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :

\(y =  - 2\left( {x + 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y =  - 2x - 1\)

Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua

A với các phương trình tương ứng là: \(y = ±2x – 1\)

Cách 2 : Phương trình đường thẳng (d) đi qua A(0 ; -1) với hệ số góc k là :

\(y = kx - 1\)

Để (d) tiếp xúc (P) tại điểm M0 điều kiện cần và đủ là:

\(\left\{ {\matrix{   {f\left( {{x_0}} \right) = k{x_0} - 1}  \cr   {f'\left( {{x_0}} \right) = k}  \cr  } } \right.\,hay\,\left\{ {\matrix{   {x_0^2 = k{x_0} - 1}  \cr   {2{x_0} = k}  \cr  } } \right.\)

Khử x0 từ hệ này ta tìm được \(k = ±2\).

Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(0 ; -1) với các phương trình là :

\(y =  \pm 2x - 1\)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật