Giải bài 44 trang 130 SGK Toán 9 tập 2
Chia sẻ trang này
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và GEF là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, EF là dây song song với AB (h.119). Cho hình đó quay quanh trục GO. Chứng minh rằng:
- Bài học cùng chủ đề:
- Bài 45 trang 131 SGK Toán 9 tập 2
- Ngữ pháp tiếng anh hay nhất
Bài 44. Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\) và \(GEF\) là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, \(EF\) là dây song song với \(AB\) (h.119). Cho hình đó quay quanh trục \(GO\). Chứng minh rằng:
a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.
b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.
Hướng dẫn trả lời:
a) Thể tích hình trụ được tạo bởi hình vuông \(ABCD\) là:
\(V = \pi {\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2}.BC\) với \(AB \) là đường chéo của hình vuông có cạnh là \(R\) và \(AB = R\sqrt2\) (\(=BC\))
\(\eqalign{
& V = \pi {\left( {{{R\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2}.R\sqrt 2 \cr
& = \pi .{{2{{\rm{R}}^2}} \over 4}.R\sqrt 2 = {{\pi {{\rm{R}}^3}\sqrt 2 } \over 2} \cr
& \Rightarrow {V^2} = \left( {{{\pi {R^3}\sqrt 2 } \over 2}2} \right) = {{2{\pi ^2}{R^6}} \over 2}(1) \cr}\)
Thể tích hình cầu có bán kính \(R\) là: \({V_1} = {4 \over 3}\pi {R^3}\)
Thể tích hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng \({{EF} \over 2}\) là:
\({V_2} = {1 \over 3}\pi {\left( {{{EF} \over 2}} \right)^2}.GH\)
Với \(EF = R\sqrt3\) (cạnh tam giác đều nội tiếp trong đường tròn \((O;R)\))
và \(GH = {{EF\sqrt 3 } \over 2} = {{R\sqrt {3.} \sqrt 3 } \over 2} = {{3R} \over 2}\)
Thay vào V2, ta có: \({V_2} = {1 \over 3}\pi {\left( {{{R\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}.{{3{\rm{R}}} \over 2} = {3 \over 8}\pi {R^3}\)
Ta có: \({V_1}{V_2} = {4 \over 3}\pi {R^3}.{3 \over 8}\pi {R^3} = {{{\pi ^2}{R^6}} \over 2}(2)\)
So sánh (1) và (2) ta được : \({V^2} = {V_1}.{V_2}\)
b) Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính \({{AB} \over 2}\) là:
\(\eqalign{
& S = 2\pi \left( {{{AB} \over 2}} \right).BC + 2\pi {\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2} \cr
& S = 2\pi .{{R\sqrt 2 } \over 2}R\sqrt 2 + 2\pi {\left( {{{R\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} \cr
& S = 2\pi {R^2} + \pi {R^2} = 3\pi {R^2} \cr
& \Rightarrow {S^2} = {\left( {3\pi {R^2}} \right)^2} = 9{\pi ^2}.{R^4}(1) \cr} \)
Diện tích mặt cầu có bán kính \(R\) là: \({S_1} = {\rm{ }}4\pi {R^2}\) (2)
Diện tích toàn phần của hình nón là:
\({S_2} = \pi {{EF} \over 2}.FG + \pi {\left( {{{EF} \over 2}} \right)^2}\)
\(= \pi {{R\sqrt 3 } \over 2}.R\sqrt 3 + \pi {\left( {{{R\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = {{9\pi {R^2}} \over 4}\)
Ta có: \({S_1}{S_2} = 4\pi {R^2}.{{9\pi {R^2}} \over 4} = 9{\pi ^2}{R^4}(2)\)
So sánh (1) và (2) ta có: \({S^2} = {\rm{ }}{S_1}.{\rm{ }}{S_2}\)
Chia sẻ trang này
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
