Giải câu 4 trang 35 SGK Vật Lý 12 Nâng cao

a) Thử lại rằng:

Bài 4.

a) Thử lại rằng :\(x = {A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t\) (6.14) trong đó A1 và A2 là hai hằng số bất kì cũng là nghiệm của phương trình (6.3).

b) Chứng tỏ rằng, nếu chọn A1 và A2 trong  biểu thức ở vế trái của (6.14) như sau: \({A_1} = A\cos \varphi ;{A_2} = - A\sin \varphi \) thì biểu thức ấy trùng với biểu thức ở vế phải của (6.4).

Giải

a) Ta có :

\(x = {A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t \Rightarrow x' = - {A_1}\omega \sin \omega t + {A_2}\omega \cos \omega t.\)

\(x" = - {A_1}{\omega ^2}\cos \omega t - {A_2}{\omega ^2}\sin \omega t.\)

Ta được :

\(\eqalign{
& x" + {\omega ^2}x = - {A_1}{\omega ^2}\cos \omega t - {A_2}{\omega ^2}sin\omega t + {\omega ^2}({A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t) \cr
& \Rightarrow x" + {\omega ^2}x = - {A_1}{\omega ^2}\cos \omega t - {A_2}{\omega ^2}sin\omega t + {A_1}{\omega ^2}\cos \omega t + {A_2}{\omega ^2}sin\omega t = 0. \cr} \)

Vậy :\(x = {A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t\) là nghiệm của phương trình \(x" + {\omega ^2}x = 0.\)

b) Nếu chọn \({A_1} = A\cos \varphi \) và \({A_2} = - A\sin \varphi \)

thì  \(\eqalign{& x = {A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t = A\cos \varphi cos\omega t - A\sin \varphi \sin \omega t \cr & = A(\cos \varphi cos\omega t - \sin \varphi \sin \omega t) \cr & \Rightarrow x = Acos\left( {\omega t + \varphi } \right). \cr} \)

Các bài học liên quan

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 12 mới cập nhật