Giải bài 70 trang 141 sgk toán 7 tập 1

Chia sẻ trang này

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.

a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân.

b) Kẻ BH ⊥ AM (H AM), kẻ CK ⊥ AN (K. Chứng minh rằng BH = CK.

c) Chứng minh rằng AH = AK.

d) Gọi O là giao điểm của HB và KC. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao ?

e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và BM = CN = BC, hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định dạnh của tam giác OBC.

Hướng dẫn làm bài:

a) ∆ABC cân, suy ra \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (1)

\(\widehat {{B_1}} + \widehat {ABM} = {180^0}\) (hai góc kề bù) (2)

\(\widehat {{C_1}} + \widehat {ACN} = {180^0}\) (hai góc kề bù) (3)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}\)

Xét ∆ABM và ∆CAN có:

+) AB = AC (gt)

+) \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (cmt)

+) BM = CN (gt)

\(\Rightarrow\) ∆ABM = ∆CAN (c-g-c)

Suy ra \(\widehat M = \widehat N\)

Vậy ∆AMN là tam giác cân ở A.

b) Hai tam giác vuông ∆BHM và ∆CKN có :

BM = CN (gt)

\(\widehat M = \widehat N\) (CM từ câu a)

Nên ∆BHM = ∆CHN (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra BH = CK.

c) Theo câu (a) ta có tam giác AMN cân ở A nên AM = AN (*)

Theo câu b ta có ∆BHM = ∆CKN nên suy ra HM = KN (**).

Do đó AH = AM – HM = AN – KN (theo (*) và (**)) = AK

Vậy AH = AK.

d) ∆BHM = ∆CKN suy ra \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\)

Mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}}\) (đối đỉnh); \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}\) (đối đỉnh)

Nên \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}\) .

Vậy ∆OBC là tam giác cân.

e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và BM = CN = BC hình được vẽ lại như sau:

+Tam giác cân ABC có \(\widehat {BAC} = {60^0}\) nên là tam giác đều hay AB = BC = AC

Mặt khác: BM = CN = BC (gt)

Do đó: AB = BC = AC = BM = CN

Ta có: \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN} = {120^0}\) (cùng bù với 60⁰)

Vì AB = BM (cmt) nên ∆ABM cân ở B suy ra \(\widehat M = \widehat {BAM} = {{{{180}^0} - {{120}^0}} \over 2} = {30^0}\) .

Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = {30^0}\) .

Và \(\widehat {MAN} = {180^0} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right)\)

\( = {180^0} - {2.30^0} = {120^0}\)

Vậy ∆AMN có \(\widehat M = \widehat N = {30^0};\widehat A = {120^0}.\)

+∆BHM có: \(\widehat M = {30^0}\) nên \(\widehat {{B_2}} = {60^0}\) (hai góc phụ nhau)

Suy ra \(\widehat {{B_3}} = {60^0}\)

Tương tự \(\widehat {{C_3}} = {60^0}\)

Tam giác OBC có \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}} = {60^0}\) nên tam giác OBC là tam giác đều.

(Tam giác cân có một góc bằng 60⁰ nên là tam giác đều).

Trên đây là bài học "Giải bài 70 trang 141 sgk toán 7 tập 1" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 1 lớp 7" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 7 của dayhoctot.com.